Как делить отрицательные числа. Остаток от деления отрицательных чисел
Прежде всего, чтобы разобраться можно ли ноль поделить на отрицательное число, следует вспомнить, как вообще выполняется деление отрицательных чисел. Математическая операция деления представляет собой действие, обратное умножению.
Это можно описать следующим образом: если a и b рациональные числа, то разделить a на b, это значит найти такое число с, которое при умножении на b даст в результате число a. Данное определение деления верно как для положительных, так и для отрицательных чисел, если делители отличны от нуля. При этом строго соблюдается условие, что на ноль делить нельзя.
Поэтому, например, чтобы разделить число 32 на число -8, следует найти такое число, которое при умножении на число -8 даст в итоге число 32. Таким числом будет -4, так как
(-4) х (-8) = 32. Знаки при этом складываются, и минус на минус даст в итоге плюс.
Таким образом:
Другие примеры деления рациональных чисел:
21: 7 = 3, так как 7 х 3 = 21,
(−9) : (−3) = 3, так как 3 · (−3) = −9.
Правила деления отрицательных чисел
Чтобы определить модуль частного, необходимо разделить модуль делимого числа на модуль делителя. При этом важно учитывать знак и того, и другого элемента операции.
Чтобы поделить два числа с одинаковыми знаками, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, а перед результатом поставить знак плюс.
Чтобы поделить два числа с разными знаками, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, но перед результатом поставить знак минус, причем неважно, какой именно из элементов, делитель или делимое, был отрицательным.
Указанные правила и соотношения между результатами умножения и деления, известные для положительных чисел, справедливы и для всех рациональных чисел, кроме числа ноль.
Для нуля есть важное правило: частное от деления нуля на любое отличное от нуля число также равно нулю.
0: b = 0, b ≠ 0. Причем b может быть и положительным, и отрицательным числом.
Таким образом, можно сделать вывод, что ноль поделить на отрицательное число можно, причем в результате всегда будет ноль.
В центре внимания этой статьи находится деление отрицательных чисел . Сначала дано правило деления отрицательного числа на отрицательное, приведено его обоснования, а после этого приведены примеры деления отрицательных чисел с подробным описанием решений.
Навигация по странице.
Правило деления отрицательных чисел
Прежде чем дать правило деления отрицательных чисел, напомним смысл действия деление. Деление по своей сути представляет нахождение неизвестного множителя по известному произведению и известному другому множителю. То есть, число c является частным от деления a на b , когда c·b=a , и наоборот, если c·b=a , то a:b=c .
Правило деления отрицательных чисел следующее: частное от деления одного отрицательного числа на другое равно частному от деления числителя на модуль знаменателя.
Запишем озвученное правило с помощью букв. Если a и b отрицательные числа, то справедливо равенство a:b=|a|:|b| .
Равенство a:b=a·b −1 легко доказать, отталкиваясь от свойств умножения действительных чисел и определения взаимно обратных чисел. Действительно, на этой основе можно записать цепочку равенств вида (a·b −1)·b=a·(b −1 ·b)=a·1=a , которая в силу смысла деления, упомянутого в начале статьи, доказывает, что a·b −1 есть частное от деления a на b .
А это правило позволяет от деления отрицательных чисел перейти к умножению.
Осталось рассмотреть применение рассмотренных правил деления отрицательных чисел при решении примеров.
Примеры деления отрицательных чисел
Разберем примеры деления отрицательных чисел . Начнем с простых случаев, на которых отработаем применение правила деления.
Пример.
Разделите отрицательное число −18 на отрицательное число −3 , после этого вычислите частное (−5):(−2) .
Решение.
По правилу деления отрицательных чисел частное от деления −18 на −3 равно частному от деления модулей этих чисел. Так как |−18|=18 и |−3|=3 , то (−18):(−3)=|−18|:|−3|=18:3 , осталось лишь выполнить деление натуральных чисел , имеем 18:3=6 .
Аналогично решаем вторую часть задания. Так как |−5|=5 и |−2|=2 , то (−5):(−2)=|−5|:|−2|=5:2 . Этому частному отвечает обыкновенная дробь 5/2 , которую можно записать в виде смешанного числа .
Эти же результаты получаются, если использовать другое правило деления отрицательных чисел. Действительно, числу −3
обратно число , тогда 
, теперь выполняем умножение отрицательных чисел : 
. Аналогично, .
Ответ:
(−18):(−3)=6
и 
.
При делении дробных рациональных чисел удобнее всего работать с обыкновенными дробями. Но, если удобно, то можно делить и конечные десятичные дроби .
Пример.
Выполните деление числа −0,004 на −0,25 .
Решение.
Модули делимого и делителя равны соответственно 0,004 и 0,25 , тогда по правилу деления отрицательных чисел имеем (−0,004):(−0,25)=0,004:0,25 .
- либо выполнить деление десятичных дробей столбиком ,
- либо перейти от десятичных дробей к обыкновенным, после чего разделить соответствующие обыкновенные дроби.
Разберем оба подхода.
Чтобы разделить столбиком 0,004
на 0,25
сначала перенесем запятую на 2
цифры вправо, при этом придем к делению 0,4
на 25
. Теперь выполняем деление столбиком:
Таким образом, 0,004:0,25=0,016 .
А теперь покажем, как бы выглядело решение, если бы мы решили осуществить перевод десятичных дробей в обыкновенные . Так как 
и , то 
, и выполняем
В данной статье дадим определение деления отрицательного числа на отрицательное, сформулируем и обоснуем правило, приведем примеры деления отрицательных чисел и разберем ход их решения.
Деление отрицательных чисел. Правило
Напомним, в чем суть операции деления. Данное действие представляет собой нахождение неизвестного множителя по известному произведению и известному другому множителю. Число с называется частным от деления чисел a и b , если верно произведение c · b = a . При этом, a ÷ b = c .
Правило деления отрицательных чисел
Частное ои деления одного отрицательного числа на другое отрицательное число равно частному от деления модулей этих чисел.
Пусть a и b - отрицательные числа. Тогда
a ÷ b = a ÷ b .
Данное правило сводит деление двух отрицательных чисел к делению положительных чисел. Оно справедливо не только для целых чисел, но также для рациональных и действительных чисел. Результат деления отрицательного числа на отрицательное есть всегда положительное число.
Приведем еще одну формулировку данного правила, подходящую для рациональных и действительных чисел. Она дается с помощью взаимно-обратных чисел и гласит: для деления отрицательного числа a на число undefined умножить на число b - 1 , обратное числу b .
a ÷ b = a · b - 1 .
Это же правило, сводящее деление к умножению, можно применять также и для деления чисел с разными знаками.
Равенство a ÷ b = a · b - 1 можно доказать, используя свойство умножения действительных чисел и определение взаимно обратных чисел. Запишем равенства:
a · b - 1 · b = a · b - 1 · b = a · 1 = a .
В силу определения операции деления, данное равенство доказывает, что есть частное от деления числа на число b.
Перейдем к рассмотрению примеров.
Начнем с простых случаяв, переходя к более сложным.
Пример 1. Как делить отрицательные числа
Разделим - 18 на - 3 .
Модули делителя и делимого соответственно равны 3 и 18 . Запишем:
18 ÷ - 3 = - 18 ÷ - 3 = 18 ÷ 3 = 6 .
Пример 2. Как делить отрицательные числа
Разделим - 5 на - 2 .
Аналогично, записываем по правилу:
5 ÷ - 2 = - 5 ÷ - 2 = 5 ÷ 2 = 5 2 = 2 1 2 .
Такой же результат получится, если использовать вторую формурировку правила с обратным числом.
5 ÷ - 2 = - 5 · - 1 2 = 5 · 1 2 = 5 2 = 2 1 2 .
Деля дробные рациональные числа удобнее всего представлять их в виде обыкновенных дробей. Однако, можно делить и конечные десятичные дроби.
Пример 3. Как делить отрицательные числа
Разделим - 0 , 004 на - 0 , 25 .
Сначала записываем модули этих чисел: 0 , 004 и 0 , 25 .
Теперь можно выбрать один из двух способов:
- Разделить десятичные дроби столбиком.
- Перейти к обыкновенным дробям и выполнить деление.
Разберем оба способа.
1. Выполняя деление десятичных дробей столбиком, перенесем запятую на две цифры вправо.
Ответ: - 0 , 004 ÷ 0 , 25 = 0 , 016
2. Теперь приведем решение с переводом десятичных дробей в обыкновенные.
0 , 004 = 4 1000 ; 0 , 25 = 25 100 0 , 004 ÷ 0 , 25 = 4 1000 ÷ 25 100 = 4 1000 · 100 25 = 4 250 = 0 , 016
Полученные результаты совпадают.
В заключение отметим, что если делимое и делитель являются иррациональными числами и задаются в виже корней, степеней, логарифмов и т.д., результат деления записывается в виде числового выражения, приблизительное значение которого вычисляется в случае необходимости.
Пример 4. Как делить отрицательные числа
Вычислим частное от деления чисел - 0 , 5 и - 5 .
0 , 5 ÷ - 5 = - 0 , 5 ÷ - 5 = 0 , 5 ÷ 5 = 1 2 · 1 5 = 1 2 5 = 5 10 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Теперь давайте разберемся с умножением и делением .
Предположим, нам нужно умножить +3 на -4. Как это сделать?
Давайте рассмотрим такой случай. Три человека залезли в долги, и у каждого по 4 доллара долга. Чему равен общий долг? Для того чтобы его найти, надо сложить все три долга: 4 доллара + 4 доллара + 4 доллара = 12 долларов. Мы с вами решили, что сложение трех чисел 4 обозначается как 3×4. Поскольку в данном случае мы говорим о долге, перед 4 стоит знак «-». Мы знаем, что общий долг равен 12 долларам, так что теперь наша задача имеет вид 3х(-4)=-12.
Мы получим тот же результат, если по условию задачи каждый из четырех человек имеет долг по 3 доллара. Другими словами, (+4)х(-3)=-12. А поскольку порядок сомножителей значения не имеет, получаем (-4)х(+3)=-12 и (+4)х(-3)=-12.
Давайте обобщим результаты. При перемножении одного положительного и одного отрицательного числа результат всегда будет отрицательным числом . Численная величина ответа будет той же самой, как и в случае положительных чисел. Произведение (+4)х(+3)=+12. Присутствие знака «-» влияет только на знак, но не влияет на численную величину.
А как перемножить два отрицательных числа?
К сожалению, на эту тему очень трудно придумать подходящий пример из жизни. Легко себе представить долг в сумме 3 или 4 доллара, но совершенно невозможно вообразить -4 или -3 человека, которые залезли в долги.
Пожалуй, мы пойдем другим путем. В умножении при изменении знака одного из множителей меняется знак произведения. Если мы меняем знаки у обоих множителей, мы должны дважды сменить знак произведения , сначала с положительного на отрицательный, а затем наоборот, с отрицательного на положительный, то есть у произведения будет первоначальный знак.
Следовательно, вполне логично, хотя немного странно, что (-3)х(-4)=+12.
Положение знака при умножении изменяется таким образом:
- положительное число х положительное число = положительное число;
- отрицательное число х положительное число = отрицательное число;
- положительное число х отрицательное число = отрицательное число;
- отрицательное число х отрицательное число = положительное число.
Иначе говоря, перемножая два числа с одинаковыми знаками, мы получаем положительное число . Перемножая два числа с разными знаками, мы получаем отрицательное число .
Такое же правило справедливо и для действия противоположного умножению – для .
Вы легко можете в этом убедиться, проведя обратные операции умножения . Если в каждом из примеров, приведенных выше, вы умножите частное на делитель, то получите делимое, и убедитесь, что оно имеет тот же самый знак, например (-3)х(-4)=(+12).
Поскольку скоро зима, то пора уже подумать о том, в что переобуть своего железного коня, что бы не скользить по льду и чувствовать себя уверено на зимних дорогах. Можно, например, взять шины йокогама на сайте: mvo.ru или какие-то другие, главное, что бы качественный, больше информации и цены вы можете узнать на сайте Mvo.ru.
Цели:
- научить делить положительные и отрицательные числа
- закрепить сложение, вычитание и умножение положительных и отрицательных чисел
- развивать грамотную математическую речь
- воспитывать интерес к предмету
Оборудование: ПК, мультимедийный проектор.
Ход урока
Учитель: Здравствуйте, садитесь. Сегодня мы будем изучать с вами новый материал, но с начала мы с вами повторим ранее изученный материал. Для этого нам нужно будет решить примеры.
1. Устные упражнения
| а) | |
| б) |  |
| в) |  |
| г) | |
| д) |  |
| е) |  |
| ж) |
2. Работа по теме урока
(Слайды 8–14 )
1. Деление отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и деление положительных чисел, т.е. по данному произведению и одному из множителей находят второй множитель.
Кто может назвать компоненты деления?
Например: -10: (-5) = ?
Что значит -10: (-5) ? (Значит, найти такое число х, что при -5 · х = -10)
Теперь найдем знак числа х .
Как вы думаете, как это можно сделать?
Так как при умножении -5 на х получается отрицательное число -10 следовательно множители должны иметь разные знаки. Следовательно, х – положительное число.
Теперь найдем модуль числа х .
Так как модуль произведения равен произведению
модулей множителей, следовательно . Следовательно 
, так как х
– положительное число, то х = следователь х
=
2
Это записывается так:
или короче
(-10) : (-5) = 10: 5 = 2
Правило: чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя.
2.2. Теперь разделим отрицательное число на положительное.
Например: -24: 4 =?
Что значит -24: 4 ? (Значит, найти такое число х , что при 4 · х = -24)
Теперь найдем знак числа х.
Как это можно сделать?
Так как при умножении 4 на х получается отрицательное число -24 следовательно х – отрицательное число.
Теперь найдем модуль числа х .
Как вы думаете, чему он будет равен?
следовательно
так как х – отрицательное число с модулем 6 , то тогда х будет равен -6
Получаем: -24: 4 = -6
Аналогично получается при делении 24: (-4) = -6
А теперь давайте проговорим алгоритм деления чисел с разными знаками. Итак:
- разделить модуль делимого на модуль делителя;
- поставить перед полученным числом знак минус.
3. При делении нуля на любое число, не равное нулю, получается нуль.
И самое главное правило: Делить на нуль нельзя!
3. Закрепление нового материала
(Слайды 15–16 ).
| 1) | |
| 2) |  |
| 3) |  |
| 4) |  |
| 5) |  |
| 6) |  |
2. Самостоятельная работа. На эту работу вам 8–10 минут.
(Слайды 17–24 )
| а) | -4 (-5) – (-30) : 6 = 25 |
| б) | 15: (-15) – (-24) : 8 = 2 |
| в) | -8 (-3 + 12) : 36 + 2 = 0 |
| г) | 2,3 (-6 – 4) : 5 = - 4,6 |
| д) | (-8 + 32) : (-6) – 7 = -11 |
| е) | -21 + (-3 - 4 + 5) : (-2) = - 20 |
| ж) | -6 4 – 64: (-3,3 + 1,7) = - 64 |
| з) | (-6 + 6,4 – 10) : (-8) (-3) = - 3 |
